【高校数学決定版】これで君も三角関数マスターだ！～公式の覚え方から証明まで徹底解説～
「三角関数」これは、高校数学において、いや、人生において必ず乗り越えなければならない壁であり、試練である。
高校数学には、見るだけでじんましんが出るほど意味が分からず、心が折れる人も出てきてしまうほどのモンスター級キラーマンビッグスリーがいます。そのうちの1つが、その「三角関数」です。(もう2つは微分と積分。いつかは記事にします。)
三角関数は高校が決まり、中学とは違って自由が増えこれからの青春を楽しみにタピオカ巡りに明け暮れている中、登校後数日で襲いかかってくるとても殺傷能力の高い強敵です。
思わずタピオカを丸呑みしてしまいそうですよね。
なぜ三角関数ってこの世に存在するの？
∠
例えば、上のような角があったとします。数百年前、ある数学者は分度器を使わすに二等分線を引くことに挑戦しました。これはおそらく誰でもコンパスを使って二等分線を引くことができると思います。しかし、数学者は今度は分度器を使わずにこの角の三等分線を引くことに挑戦しました。そこで人類は必ず三等分線を引くことは必ずできない。と学びました。
そして数学者は上の図のように一方の直線に直角な線を三本引いてみました。すると、3つの直角三角形ができ、その3つは底辺と斜辺と高さの長さの比がどれも同じになることが分かり、ここから角度(θ)を線の比で表すことができることを発見しました。
そして、角度(θ)を底辺・斜辺・高さで間接的に表す「sin」「cos」「tan」が誕生しました。
角度を間接的に表すとは
上の直角三角形の図で考えてみましょう。
まず、BC=3、AC=4、AB=5とします。そして、θを積んだコンテナロボットにそれぞれサイン・コサイン・タンジェントと名付けます。
サインに、「θはどんな角？」と訪ねると、「5斜めって3落ちるような角」と答えながらその道順で移動しました。コサイン、タンジェントに同様の質問をすると、それぞれ「5斜めって4横にいくような角」「4横にいって3上がるような角」と答えながら移動しました。
これが、角度を間接的に表すということです。わかりやすいなぁ
そもそも三角関数って何？
三角関数と聞いて、何を表しているのかわからない人がほとんどだと思います。
ネットで調べてみると、「直角三角形の二辺の比」と書かれていることが多いですが、もっと厳密に言うと三角関数は「角度を辺で表したもの」という意味なのです。
三角関数で主に使われる記号は、「sin」「cos」「tan」の3つです。
では、それぞれの性質について学んでいきましょう。
sin・cos・tanの覚え方
「sin」が高さ/斜辺(正弦)、「cos」が底辺/斜辺(余弦)、「tan」が底辺/高さ(正接)であり、
(正弦)(sin) (余弦)(cos)
正 社員 よ こせ と覚えましょう。余ったものが、tan(正接)です。
分数に関しては、下の図のように各英文字の一文字目の筆記体の書き順で覚えると非常に覚えやすいです。
単位円とは
単位円とは、上の図のように原点を中心とした半径1の円のことで、θをsin・cos・tanを使って表します。180°の場合、θ＝π。360°の場合、θ＝2πとも表されます。
「単位…」(単位ベクトル)という図はなんらかの大きさ・長さが「1」となっているので、一緒に覚えておくと便利です。
角度の値を求める問題や、なす角を求める問題では、この単位ベクトルを使えばかなり楽に問題を解くことができるので、必ず使いこなせるようにしておきましょう。
三角関数の公式
余弦定理
余弦定理の覚え方
上の図のように、aを求めたいときは、「え？美人少女が煮干しこさえてる？」。bを求めたいときは、「ぼうず！アジとしじみにアジこすりつけろ！」。cを求めたいときは、「しんじの兄はビニールにエビをこっそり仕組んだ」。と公式を覚えて使いましょう。
余弦定理は、他の公式と比べて比較的覚えやすい公式となっているので、みなさん気合いで覚えましょう。
余弦定理の証明
ちょっと作るのめんどかったからこれ見てね。
加法定理
加法定理の覚え方
上の図のように、サイン(正接)の加法定理の公式は「咲いたコスモスコスモス咲いた」。コサイン(余弦)の加法定理の公式は「コスモスコスモス咲いた咲いた」と覚えるとミスが減ります。両辺で頭文字が同じなので比較的覚えやすいと思います。コサインの加法定理だけ左辺と右辺で符号が変わるので、そこだけ注意しましょう。
タンジェントの加法定理は気合いで覚えてネ。
加法定理の証明
ちょっと作るのめんどかったのでこれ見てください。
二倍角の公式
二倍角の公式の覚え方
上の図の公式を覚えましょう。
今回の公式は、暗記ではなくても簡単に導き出すことができ、同時に証明もでき圧倒的に役立つので、それぞれ加法定理から導き出すことができるまで何回も練習しましょう。
二倍角の公式の証明
https://manabitimes.jp/math/1249
ちょっと作るのめんどかったのでこれ見てください。
半角の公式
半角の公式の覚え方
上の図の公式を覚えましょう。
今回の公式は、暗記ではなくても簡単に導き出すことができ、同時に証明もでき圧倒的に役立つので、それぞれ加法定理から導き出すことができるまで何回も練習しましょう。
半角の公式の証明
ちょっと作るのめんどかったのでこれ見てください。
最後に
三角関数は、必ず誰しも一度はつまずき、近道はありません。でも、公式などを丸々暗記しようとせず、なぜそのようになるのか。という過程を理解できるようになれば、必ず克服することができます。一見公式が多いように見えて、少し覚えればそれから色々な公式が導き出せるものもあるので、見てすぐに分からないと思うのではなく、一旦どうしてそうなるのかを考えてみるようにしましょう。
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